Da ich den Inhalt Ihres Testaments nicht kenne, können hier nur grundsätzliche Antworten geliefert werden. Ich unterstelle, dass Sie und Ihr Ehegatte sich gegenseitig zu Alleinerben eingesetzt haben. In der Regel bestimmen Eheleute im gemeinschaftlichen Testament auch die Schlusserben, die nach dem Ableben des letzten Ehepartners das dann noch vorhandene gemeinsame Vermögen erhalten sollen. In der Praxis werden meist die gemeinsamen Kinder eingesetzt.
Da Sie sich jetzt erst Gedanken über das Erbe nach dem Ableben des längerlebenden Ehegatten machen, gehe ich davon aus, dass Sie im Testament die Schuss-erbfolge noch nicht geregelt haben. Sie und Ihr Ehegatte haben nun die Möglichkeit, Ihr Testament dahingehend zu ergänzen, als Sie das Tierheim zum Schlusserben einsetzen. Ist Ihr Ehegatte mit dem Tierheim nicht einverstanden, müsste das Testament mit einer Vor- und Nacherbschaft konstruiert werden. Sie und Ihr Mann würden sich dann wechselseitig als Vorerben einsetzen und gleichzeitig würde jeder Ehegatte seinen eigenen Nacherben bestimmen. In diesem Fall würden Sie das Tierheim als Nacherben einsetzen. Jedenfalls sollten Sie vor Ergänzungen des Testaments unbedingt noch eine konkrete Überprüfung anhand des bisherigen Textes vornehmen lassen.